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数学中那么多欧拉公式、欧拉定理,这个欧拉到底有多厉害?

教育冲冲冲 2018-12-11 08:26:00

欧拉(1707-1783),数学中的一个超级明星,他的贡献几乎涉及数学的所有基础领域

,尤其是欧拉那非凡的数学技巧,让人叹为观止,至今无人能超越。

数学中那么多欧拉公式、欧拉定理,这个欧拉到底有多厉害?

人们常说数学界的三大高峰:欧拉、高斯和黎曼。其中,欧拉的数学技巧无与伦比;高斯的数学才能绝无仅有;而黎曼的数学灵感,足够让其他数学家忙碌几百年。

关于欧拉到底有多厉害,知乎一个最高票答案这样说:

这种人,只需要说生平。

9岁,把牛顿的《自然哲学的数学原理》看完了。

13岁,考入名校巴塞尔大学,同时修六个专业(哲学、法学、数学、神学、希伯来语、希腊语

15岁,本科毕业。

16岁,硕士毕业。

19岁,博士毕业,博士毕业论文是一片物理论文。

20岁,参加建筑大赛,只拿到第二。欧拉很生气,觉得就算他没怎么认真比也不能被超越,然后接下来12年连得12个冠军,终于心满意得的不比了。

还是20岁,著名数学家伯努利邀请他去俄国。欧拉说去就要当皇家科学院院长,然后伯努利就把生理学院长让给他了。在这期间,欧拉公式。

27岁,发明了以下符号:f(x)、sin、cos,tan。

28岁,花费三天找出计算彗星轨道方法。然后,不幸的事,右眼失明。

29岁,《力学,或解析地叙述运动的理论》出版,提出诸如质点的概念、在运动学中引入矢量。

32岁,出版音乐著作。新学科:空气动力学、流体动力学

59岁,因为医疗事故,左眼失明。完全失明后,因为熟知所有数学公式、能够心算高等数学,写出400多篇论文,新学科:刚体力学、分析力学

64岁,因家中失火,大部分研究被焚毁。

76岁,在说完他自己要离世后,倒地去世。

补充:

1、欧拉还曾发现过这样几个学科:弹道学、分析力学、拓扑学,欧拉还是一名制图学家。

2、欧拉没被焚毁的一小部分论文,后世科学家整理了150+年,有886篇论文。

我们再来看看欧拉究竟有哪些以小见大有超凡想象的过人之处:

一、欧拉那超凡的心算能力

有一次,欧拉的两个学生,对一个复杂级数求和的第五十多位起了争执,然后欧拉仅凭心算,

就判断了谁对谁错。

上面一个例子,如何你怀疑真实性,那么下面一个,是世界公认的:

在没有计算机的年代,梅森素数的寻找是相当困难的,在1588年意大利数学家卡塔尔迪(15

48-1626),找到了第六个和第七个梅森素数M17和M19之后,两百多年没有任何进展;直

到 1772年,欧拉在双目失明的情况下,仅靠心算得到了第八个梅森素数M31,是当时世界上

已知的最大素数。

这里绝不仅仅像“某某大脑”里面,一些只会速算的人,欧拉那超凡的心算能力,只不过是他

众多才能中一个而已,相对于他的数学才能,心算能力只是辅助。

二、当之无愧的数学英雄

1735年,天文学家遇到一个棘手的天文学问题,几个月都得不到解决;直到他们去请教欧拉

,欧拉专研了三天,把这个问题解决了。不过也因此右眼恶化,最终失明。这时候,欧拉才28岁。

三、数学能力

欧拉的老师,也是一位大名鼎鼎的数学家——约翰·伯努利。约翰·伯努利有两个儿子,也是著

名的科学家——哥哥:尼古拉斯·伯努利;弟弟:丹尼尔·伯努利。

在1722年,哥德巴赫意识到,阶乘函数(n!) 或许可以延拓到整个实数域,但是他无法得到

延拓后的函数,于是他写信给伯努利兄弟,也没有得到解决。

因为欧拉和伯努利家族联系紧密,所以欧拉也得知了这个问题,欧拉使用丹尼尔·伯努利发明

的无穷插值法,完美地得到了阶乘函数全实数表达式——即伽玛函数。

数学中那么多欧拉公式、欧拉定理,这个欧拉到底有多厉害?

此时的欧拉,只有22岁,也是这时,欧拉结识了哥德巴赫,并和他成为一生的好友。

还有个故事,大家知道费马大定理吧,应该知道费马这个名字。费马是个律师,比较喜欢数学,没事喜欢提一些想法,写在手稿里,并且说自己证明了,但是地方不够,就没写出来。

费马曾经提出过一个猜想:n=正整数时,2^(2^n)+1是个质数

比如:n=1时,2^2+1=5,质数

n=2时,2^4+1=17,质数

n=3时,2^8+1=257,质数

n=4时,2^16+1=65537,质数

之后数学家就拼了命证明,50年都没人证明出来。

50年后,欧拉来了,他证明了费马的猜想是错误的。

那么他如何证明的呢?

欧拉又算了一个数,n=5,结果发现这个数不是质数,于是他证明了费马错了。

四、一举成名

最终让欧拉登上世界舞台的,是一个世纪难题的解决——巴塞尔级数问题

巴赛尔级数1+1/4+1/9+1/16+1/25+……=?

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在1650年被提出,期间无数数学家研究过,都没有得到解决,举个例子:

莱布尼兹厉害吧!微积分的发明者之一,我们现在学习沿用的微积分概念基本,就是莱布尼茨

发明的,他对级数的操控,几乎可以说是随心应手,甚至对他的朋友惠更斯宣称:对于任何收

敛的无穷级数,只要其中各项遵循一定规律,那么我就能求出和来。

然后1673年,莱布尼茨遇到了英国数学家佩尔(1611-1685),佩尔用巴塞尔级数,一下就

把这个血气方刚的莱布尼茨镇住了,莱布尼茨苦思一整天,最终不得不认输!

可是在1734年,27岁的欧拉,突然就把这个问题解决了!

而欧拉使用的方法非常巧妙,仅仅用到了简单的两个数学知识,简单到一位数学不错的中学生

都能看懂,相当于:这个级数展开很初等吧!这个根与系数的关系是初中知识吧!唉——合起

来,这个世界难题就解决了!

如果莱布尼兹还在的话,看到这个证明,不知道他会作何感受!

五、超凡的贡献

欧拉是最多产的数学家之一,而且基本都是高质量的数学成果。

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在1909年,瑞士自然科学联合会,开始着手收集欧拉的手稿和论文,刚开始预计要60-80卷

才能将其收录,这项工作由全世界许多个人和团体资助下进行,不过他们后来在圣彼得堡又发

现欧拉的大量手稿,导致原先的预算经费不够而临时终止。而且这些资料,将近一半都是欧拉在双目失明下仅凭心算和口述,然后他的大儿子笔录完成才得以留下来的。

最终整理欧拉的著作,圣彼得堡科学院花了整整四十七年。

六、失明的欧拉

1766年,欧拉双眼完全失明;在1771年,彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅,有幸的是欧拉被人

及时救出,可是他前半生的著作,几乎全部化为灰烬,但是欧拉并未灰心。在接下来的十多年里,双眼彻底失明的欧拉,由他口述,他大儿子笔录的方式,重新写下了被大火夺走的数学研究,而且他一生超过一半的数学著作,都是在他双目失明后创作的!其中还包括分析力学和刚体力学两大学科!

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数学中那么多欧拉公式、欧拉定理,这个欧拉到底有多厉害?

七、非凡的人格魅力

欧拉的人格魅力是令人敬佩的,以至于得到皇室无偿的资金支持,比如在大火后,女皇无偿地

补偿了欧拉的经济损失。

欧拉有位学生,也是大名鼎鼎的数学家——拉格朗日。

拉格朗日利用变分法,解决了等周问题,然后请教他的老师欧拉,欧拉给与了高度赞扬,并在

1759年10月2日的回信中,鼓励他把这个发现发表出来。

其实,这时的欧拉,已经研究这个问题很久了,并得到了这个问题的完美解法,但他还是非常

谦让地,把这个发现让给了拉格朗日,使得拉格朗日赢得了巨大的声誉,后来欧拉发现拉格朗

日的证明方法和自己的不一样,所以欧拉才把他的发现方法公布出来。

数学中那么多欧拉公式、欧拉定理,这个欧拉到底有多厉害?

八、物理学的意外发现

超弦理论是目前非常前沿的理论,然而他的起源离不开欧拉,在1969年,物理学家Gabriele

Veneziano,在欧拉的一本著作中,注意到了一个函数(欧拉B函数),可以用来描述强作用

力。后来物理学家Leonard Susskind发现,这一函数延伸出来的物理图像,是’可扭曲有弹性的线段’,并在后来发展成了’超弦理论’。

数学中那么多欧拉公式、欧拉定理,这个欧拉到底有多厉害?

这样的例子数不胜数,比如还有:所有自然数之和在量子力学中的应用,素数的欧拉乘积式,

复变函数的欧拉公式,调和级数的欧拉常数,自然对数也叫欧拉常数,三角函数的定义,流体

力学的欧拉方程,天文学天体轨道的数值计算,数论中的欧拉公式,拓扑学欧拉方程等等。

每个贡献都是非凡的,随便拿一个出来,都可以让另外一位数学家名留青史,然而,这些都是

欧拉一个人的贡献。

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