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都听过量子力学,可是你见过它的核心方程吗?

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在日常生活中,利用牛顿定律我们就可以描述各种运动。但是,当物理学家想要探索微观世界,比如电子围绕着原子核运动,他们发现事情变得异常诡异,而牛顿定律也不再适用。要想要描述微观世界就必须运用量子力学,该理论在20世纪初发展起来。而量子力学的核心方程就是薛定谔方程,它就好比是牛顿第二定律在经典力学中的位置。

也许你没见过薛定谔方程,但是你或许听过他那只举世闻名的猫,因为薛定谔猫同时处于死和活的叠加态。不过今天的主要目的是要让你们理解薛定谔方程, 因此我首先要从波和粒子开始说起。

都听过量子力学,可是你见过它的核心方程吗?

△ 薛定谔(1887 – 1961)。

【波与粒子】

在经典力学中,我们利用位置和动量来描述一个物理系统的状态。举个例子,在一个桌上有许多的台球,如果你知道每个球在某个时刻 t 的位置和动量(即质量乘以速度),那么你就知道该系统在 t 的一切:球的位置,以及它们移动的方向和速度。因此我们可以问,如果我们知道一个系统的初始条件,即该系统在时间 t₀ 的状态,那么这个系统的动态如何演化?利用牛顿第二定律我们就可以回答这个问题。在量子力学中,我们问同样的问题,但是答案更加的巧妙,因为位置和动量已不再是描述该系统的合适变量。

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△ 爱因斯坦提出的光电效应。(© Hyperphysics)

问题的关键在于,发生在微观尺度下事物的行为与桌球的行为不同。举个例子,牛顿认为,光是由微粒构成的,但是,之后许多其它科学家的通过实验表明光的行为像波动。但是,爱因斯坦在1905年发现,波动学说也并不是完全正确的。为了解释所谓的光电效应,你需要把一束光想象成一束粒子流,爱因斯坦称之为光子。光子的数量正比于光的强度,每个光子的能量 E 与它的频率 f 成正比:

普朗克常数 h = 6.626068×10⁻³⁴m²kg/s,这个非常小的数字是由普朗克在1900年对黑体辐射研究时提出来的。现在我们面对的问题是有时光的行为像粒子,而有时它的性质像波。

爱因斯坦的研究结果将过去两个重要的领域连接了起来:他统一了光学(这是关于波的)和力学(这是关于粒子的)。德布罗意受到光的这种自相矛盾的行为的启发,在这个探索的过程中更进一步。他提出不仅仅是光,所有的物质都应该拥有所谓的“波粒二象性”。比如电子有时表现的像粒子,有时则像波。

对波粒二象性最著名的实验描述是双缝实验。考虑电子(或其它粒子,比如光子或中子)在下图所示的实验装置中表现的行为。首先将电子朝一面有双缝的屏幕连续发射,在屏幕后是另外一面可以探测电子的屏幕。如果电子具有粒子的行为,那么它们会在双缝后面的两条直线旁边堆积(下图中间)。但实际上,你观测到的是干涉图案!而只有当电子是波的时候才会产生干涉,波经过双缝后在屏幕另一面后传播开时自我干涉。总结来说,电子作为粒子总是以完整颗粒的形式到达,这些颗粒到达的概率分布则像波的强度的分布。正是从这个意义来说,电子的行为“有时像粒子,有时像波”。

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△ 双缝实验:上图表示波经过双缝产生的干涉图案,中间是你期望看到的粒子通过双缝的图,底下则是电子穿过双缝产生的干涉图案,但电子还是以完整颗粒的形式到达探测屏幕。

注:关于波粒二象性的详细讨论有兴趣的读者可阅读《费恩曼物理学讲义》的第三卷的前两章。

【薛定谔方程】

德布罗意提出来的新图景需要新的物理。那么在数学上,我们要怎么描述波粒二象性?我们已经知道光子的能量与频率有关,而频率与波长的关系为 λ=c/f 。这里c是光速。利用相对论的结果,我们可以把光子的能量和动量联系起来。最后可以得出

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该方程联系了光子的波长 λ 和动量 p。我们要知道量子力学的其中一个结果就是没有任何物体会完全保持静止,因此 p 永远不会等于零。我们也知道 h 的值太小了,以至于通常我们根本观察不到宏观物体的波动性。(之所以用“通常”是因为在某些情况下量子效应在宏观尺度也可以被观察到,比如玻色-爱因斯坦凝聚)。

德布罗意假设任何粒子的波长和动量都应该服从上述的波长和动量之间的关系。

现在,我要你们先不要考虑粒子表现的像波究竟是什么意思,而把注意力放在数学上。

在经典力学中,波随着时间演化,例如水波或声波,是由波动方程描述的。波动方程是一个偏微分方程,其解是一个波函数,它给出波在任意时间的形状(需要满足合适的边界条件)。

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△ 在某一时刻,弦在xy平面上下运动,这里呈现的波可以用余弦函数来描述。

举个例子,如果你把一根拉紧的弦上下抖动,就会在弦上形成一个简单的波。为了完全地描述波,你需要知道弦在时间 t,位置 x 上沿着 y 轴方向的位移 y(x,t)。运用牛顿的运动第二定律,我们可以推导出 y(x,t) 服从以下的波动方程:

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v 是波的速度。

这个方程的一般解 y(x,t) 相当复杂,因为绳子可以以各种方式扭动,而需要更多的信息(初始条件和边界条件)才能正确的找出它所作的运动。但是,作为一个例子,函数

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描述的是一个沿着x轴正方向移动并具有角频率ω的波。你可以把该解带入波动方程来验证。

同样的,应该也存在一个描述德布罗意的“物质波”随时间演化的波动方程。无论方程是什么,它的解应该是一个波函数,它告诉我们关于量子系统在任意时刻的一切,例如单个粒子在一个盒子内的运动。该方程是由薛定谔在1926年提出来的。对于一个在三维空间中运动的单个粒子,薛定谔方程为:

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V是粒子的势能(它是 x,y,z,t 的一个函数),i是虚数,m是粒子的质量,h是普朗克常数。该方程的解为波函数 Ψ(x,y,z,t) 。

在某些情况,势函数不依赖于时间 t ,也就是说函数 Ψ 的值仅依赖于空间 Ψ =Ψ(x,y,z),因此薛定谔方程简化为

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E是粒子的总能量。整个方程的解为:

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这些方程适用于在三维空间中运动的一个粒子,但也有相对应的方程描绘一个由多个粒子组成的系统。

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【进入不确定性】

我们已经看过薛定谔方程以及它的解了,但方程的解的真正含义是什么?在给定时间 t,它没有给出粒子的位置,所以它并没有给出粒子随时间的运动轨迹。其实它是一个函数,在时刻 t 给出对于所有可能位置(x,y,z)的一个值 Ψ(x,y,z,t)。我们该如何诠释这个波函数?1926年波恩给出了一个概率的解释。他假设这个波函数的绝对值平方

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给出在时刻 t,粒子在位置(x,y,z)的一个概率密度。换句话说,粒子在时刻 t 将在一个区域 R 中被发现的概率是

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1927年,海森堡发现这个概率图像与德布罗意关于粒子的波长和动量公式有着令人惊奇的联系。海森堡发现对一个粒子的位置和动量的测量有着一个根本的限制,我们无法同时精确测量一个运动粒子的位置和动量。一旦位置知道的越精确,关于动量的信息就越不精确,反之亦然。这并不是指测量仪器的质量问题,而是自然界的根本不确定性。这个结果就是所谓的不确定性原理,是量子力学令人抓狂的几个结论之一。这意味着在量子力学中,我们无法谈论粒子的位置或轨迹。

如果我们相信这个不确定性图像,我们则必须接受所发现现象的概率解释,因为我们对“电子在时刻 t 在哪里”这样的问题没有精确的答案。换句话说,所有量子状态的数学表示及波函数所能给我们的只是一个概率。

波函数是否有任何物理解释在过去及现在仍然是个棘手的问题。问题是,我们有这个波函数,但我们真的认为有随着空间和时间传播的波吗? 德布罗意、薛定谔和爱因斯坦试图提供一个例如像光波在真空中传播的真实阐述,但是泡利、海森伯及玻尔都反对这个真实的图像。对他们而言,波函数只是计算概率的一个工具。

我们之所以相信薛定谔方程是对的,是因为到目前为止它通过了所有实验的考验。它是量子力学的基本方程,它是我们想描述的每一个量子力学系统的出发点。薛定谔方程最早的成功在于它描绘了氢原子的离散能量谱。在玻尔的原子模型中,电子被限制在某些能量级上,薛定谔将他的方程用于氢原子,发现他的解精确的重现了玻尔的能量级。

正是基于薛定谔方程的建立,之后才有了关于量子力学的诠释,波函数坍缩,量子纠缠,多重世界等等的激烈讨论。

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